抛10次硬币都是正面朝上，那第11次呢？

抛一枚硬币，如果硬币不作弊，正面朝上的概率是多少？

1/2啊！

如果连续抛了10次，每一次都是正面朝上。抛第11次时，正面还是朝上的概率呢？

还是1/2吧……不对，连续11次都是正面朝上，应该是（1/2）¹¹=1/2048？乱了乱了，到底是多少啊？

标准的回答：1/2。每一次抛硬币，都是一个独立事件。硬币没有记忆，不会记得之前发生了什么事情。

对，如果你站在第一次扔出来之前，那是这样。但现在已经扔了10次。前10次扔出任何一个特定结果（比如全是正面）的概率，已经是1/1024了。接下来这一次是正面的概率还是正常的1/2，乘起来正好是1/2048。

图 | Pexels

或者你可以这么想：前方是一片分岔的小路，一共分岔了11轮，通向2048种不同的可能性。一开始，你面前的所有可能性都是真的有可能的。但是，当你经过第一个分岔，选择了确定的某一个方向时，就有1024种可能性对你关闭了；经过第二个，又有512种关闭了……等到你已经经过10个时，面前只剩下最后一个分岔的两条路。那么这两条路，对于此刻的你而言，左的概率也是1/2，右的概率也是1/2。

不然的话，假若左是1/2048，那右难道是2047/2048？如果左右平等，右也是1/2048，那剩下的2046种可能性呢？它们都在你已经不可能抵达的那些岔路上，不能计入你眼前的概率了。

走上任何一条具体的道路，都是一样的。11次选择，随便什么结果都是1/2048，你总得选一个。

随便什么结果，都是1/2048。但是，连续11次正面，这才不是“随便什么结果”啊！

好吧，这就是症结所在：虽然任何特定结果都是等概率的，但是不同的结果有不同的模式。连续11次正面，这个模式在直觉上是不对劲的；而譬如是5正6反，这个模式在直觉上没有问题。因为直觉的不对劲，让我们难以老老实实接受1/2这个结果。

也不一定——如果你是个贝叶斯主义者的话。

谢耳朵也提到过贝叶斯（在上方），看不懂没关系，在本题中不需要看懂 | 《生活大爆炸》截图

以上的全部计算，都依赖于一个前提：这是一枚“标准硬币”，它不作弊，没有记忆，正反面的概率都是1/2。

可是，你是怎么知道的？

在这个狭小的场景里，这就是一条先验知识。它是“先于经验”而存在的，你并非通过亲身经历而获知它是标准硬币，而是通过题目规定（或者上帝或者先天知识或者纯推理或者别的什么奇怪的来源）获得的。如果你相信先验知识的话，那就照办吧。

但是并没有人规定你一定要相信先验知识（虽然在做题的时候，不相信出题人的后果会很惨咯）。如果我不信呢？至少，我觉得我可以用我的观察去修正它呢？

图 | Pexels

那我就是在用后验知识了。换句话说，贝叶斯。

在这个案例里，我已经见到了连续10次正面。当然，一个标准硬币可以产出这样的结果，只不过概率是1/1024而已。

但是，有另外一种可能的解释——这个硬币作弊了。或者它的两面都是正面，或者它的反面那边比正面重很多。如果它是一枚作弊的、必定正面的硬币，那么它就会以1的概率出产连续10次正面，这可比标准硬币更有解释力啊！

硬币：没为什么，我乐意！| amazon.com

那么我们可以说，这10次观察得到了一个后验知识——该硬币有偏向于正面的倾向性。这个倾向性有多大？可以算，但是很麻烦，这里暂且忽略。但无论如何，如果你是一个贝叶斯主义者，相信直觉，不愿意接受“标准硬币”那个先验知识，那么你应当得出的结论是：下一次硬币为正面的概率大于1/2。

至少，无论你是哪一派的，都不会得出小于1/2的结果。

作者：Ent

编辑：麦麦

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